En forma muy general, se puede decir, que una señal es un estímulo externo que condiciona el comportamiento de un sistema. En la figura #1 se muestra esquemáticamente este hecho.
Figura #1
Esquema de un sistema, señal de estimulo y señal de respuesta.
Desde un punto de vista más matemático, se puede decir que una señal se define como una función univaluada del tiempo; es decir, a cada instante de tiempo asignado (definida como variable independiente) corresponde un único valor de la función (variable dependiente). Como ejemplo podemos ver la figura #2, la cual muestra una senoide como señal.
Figura #2
Representación de una señal.
Como regla se puede establecer que el mensaje producido por una fuente no es eléctrico y, por lo tanto, es necesario un transductor de entrada. Este transductor convierte el mensaje en una señal eléctrica variable, tal como un voltaje o una corriente.
La descripción de una señal v(t) usualmente existe en el dominio del tiempo, donde la variable independiente es “t”. Pero para el trabajo de comunicaciones, a menudo es más conveniente describir las señales en el dominio de la frecuencia, donde la variable independiente es w o f (w = 2pf ). El análisis espectral está basado en el uso de las series y transformadas de Fourier como herramientas.
En la figura #3 se muestra la representación espectral (dominio de la frecuencia) de varias señales con sus correspondientes rep[resentacion en el dominio del tiempo.
2.- Concepto de sistema.
Un sistema es un grupo de objetos que pueden interactuar de forma armónica y que se combinan con el propósito de alcanzar determinado objetivo. Un sistema puede, a su vez, ser una porción de un sistema mayor.
En la figura # 4 se muestra un rompecabezas, el cual puede servir para entender el concepto de sistema. Con mucha frecuencia los rompecabezas son figuras que deben ser armadas en su totalidad por una persona. Cada pieza de la figura tiene una forma adecuada para encajar dentro de la totalidad del dibujo; de ésta manera “interactúa de forma armónica” con el resto de las piezas de su entorno con el “propósito” de alcanzar como “objetivo” la figura en su totalidad.
Figura # 3
Representación de varias señales en el dominio del tiempo y
su correspondiente representación en el dominio de la frecuencia.
Figura # 4
Rompecabezas como ejemplo de sistema y subsistema.
Podemos además, ver cada pieza como un subsistema que posee una forma, es parte de una gran figura y ocupa en la figura total, una posición única.
3.- Clasificación de las señales.
Las señales se pueden dividir en dos grandes grupos: las señales determínisticas y las señales aleatorias.
Una señal determínistica es aquella que tiene un valor definido instante por instante.
Las señales aleatorias como su nombre lo indica, están ligadas a la casualidad. Estas señales no son de nuestro interés en este curso, razón por la cual no dedicaremos estudio a las mismas.
Las señales determínisticas pueden ser clasificadas según su forma en: señales determínisticas continuas, señales determínisticas discretas y señales determínisticas singulares.
En resumen se tiene la siguiente clasificación:
3.1.- Señales determínisticas Continuas.
Estos tipos de señales poseen campos de existencia continuos o por lo menos continuos en intervalos, para los cuales se dice que las señales son continuas por intervalos.
La figura #5 muestra una señal continua por intervalos, la cual solo toma valores desde -4 hasta +5. La señal está constituida por cuatro intervalos: -4 a -1; -1 a +1; +1 a +3 y +3 a +5. En cada caso definida por una ecuación diferente.
Figura # 5
Señal continua por intervalos.
Para determinar la continuidad o no de la señal es necesario determinar los límites laterales de cada intervalo. La función presentará discontinuidad en un punto si en ese punto el límite por la derecha es diferente al límite por la izquierda, esto es:
considerando que el punto de análisis de continuidad está denotado como to y la función es f(t).
3.1.1 Operaciones sobre señales determínisticas continuas.
Al realizar en la práctica el análisis de señales de nuestro interés, encontraremos que en muchas ocasiones, será necesario realizar operaciones matemáticas sobre dichas señales con la finalidad de obtener resultados favorables en la operación de un sistema, equipo, circuito, etc., permitiendo de una manera analítica poder comprender los principios de funcionamiento del sistema en cuestión.
Existen varias operaciones muy útiles que se pueden realizar sobre señales continuas, las cuales serán descritas a continuación.
3.1.1.a.- Suma de señales continuas.
Para realizar la suma de dos funciones continuas, el procedimiento más sencillo es tomar los valores punto a punto de cada una de las funciones e ir sumándolos hasta obtener todos los valores necesarios. Sin embargo, este es un trabajo muy largo y el resultado será una función discreta en dependencia del valor del incremento que se tome entre un punto y el siguiente. Un procedimiento más adecuado, es tomar cada una de las funciones y dividirlas por tramos o intervalos donde estén definidas por la misma ecuación. Luego se suman cada una de las ecuaciones de las señales para cada intervalo considerado, tomando en consideración los límites entre los cuales esté definida cada función. Puede ocurrir que una función solo tenga uno o dos intervalos en los cuales exista señal, mientras que las otras tengan más intervalos y su duración en el tiempo sea mayor. En este caso, como es lógico, cuando no hay función se suma el valor de la señal existente con cero.
El siguiente ejemplo permite observar mejor el procedimiento explicado.
Se desea hallar la suma de las funciones:
f1(t) = 3t para 0 ≤ t ≤ 5 (Ecuación 1)
f2(t)= t para 3 ≤ t ≤ 6 (Ecuación 2)
Como puede observarse en la figura #6, la funciones f1(t) y f2(t) están definidas para intervalos diferentes y además coinciden en un intervalo para el cual ambas están definidas y otros dos para los cuales una de las dos funciones es cero. El procedimiento a seguir es, realizar la suma en tres intervalos: de 0 a 3; de 3 a 5 y de 5 a 6. El valor de f2(t) vale cero para el intervalos 0 a 3 y f1(t) vale cero para el intervalo 5 a 6. Para hallar la suma basta con sumar las ecuaciones de cada una de las funciones definidas en los intervalos 3 a 5 donde existen ambas funciones y sumarle la porción de f1(t) entre 0 y 3 más la porción de f2(t) entre 5 y 6. La función f(t) de la figura #6 representa la suma total de las dos funciones f1(t) y f2(t).
El número de intervalos a considerar dependerá de las formas que posean las señales, sin embargo, siempre será posible dividir la suma total en “n” sumas parciales dadas por el número de intervalos que posean las señales. Se tomará como referencia el número de intervalos mayor de las señales a sumar. Esto es, si una señal posee tres intervalos y la otra cinco, el número de sumas parciales será cinco.
Si se desea hallar la suma de más de dos señales, la solución se puede hallar mediante la realización de varias sumas parciales para luego hallar la suma total.
Figura # 6
Suma de dos funciones continuas por tramos.
3.1.1.b.- Producto de dos funciones.
Para determinar el producto de dos señales, el procedimiento utilizado puede ser el mismo que se describió para la suma de dos señales, con la única diferencia que en vez de sumar las ecuaciones se hallará el producto.
En el ejemplo anterior si se hallara el producto de las dos funciones f1(t) y f2(t), se tendría como resultado sólo una función cuadrática ( en este caso, 3t2 ) definida para el intervalo de 3 a 5, ya que, para los otros dos intervalos una de las señales vale cero en cada caso.
Para hallar el producto de más de dos funciones, se procede al igual que en la suma, con productos parciales de funciones. Esta no es la única vía, pero facilita considerablemente el trabajo.
3.1.1.c.- Escalamiento en magnitud de una función continua.
Se habla de escalamiento en magnitud de una señal, cuando se multiplica su amplitud por una constante. La constante puede ser mayor que uno o menor que uno. Si se tiene el caso en el cual la constante es mayor que uno se está en presencia de una amplificación. En el otro caso, cuando la constante es menor que uno, se tiene una atenuación.
El valor de la constante puede ser positivo o negativo. En caso que la constante sea positiva no se producen cambios de signo en la amplitud de la señal. En caso de ser negativo se produce un cambio de signo en la amplitud de la señal.
Sea por ejemplo la función:
f(t) = A.sen(wt + j) (Ecuación 3 )
entonces la función puede ser escalada en amplitud de la siguiente manera:
f(t) = K.A.sen(wt + j) (Ecuación 4 )
La figura # 7 muestra una señal senoidal con escalamiento en amplitud: a) señal sin escalar, b) señal escalada en magnitud con K > 1 ( amplificada ) y c) señal con escalamiento en amplitud con 0 < K < 1 ( atenuada ). En la figura #7 d) se muestra la gráfica de la señal con un escalamiento en magnitud para valores negativos de la constante, observe que se produce un cambio de fase de 180 grados en la señal. En todo caso se debe observar que solo se modifica la amplitud de la señal, ya qué los demás parámetros de la misma permanecen inalterables, excepto en el caso d).
Figura #7
Escalamiento en amplitud de una señal.
3.1.1.d.- Escalamiento en tiempo de una función continua.
El escalamiento en tiempo de una señal, modifica la duración de la misma en dependencia del valor de una constante por la cual se multiplica el tiempo. Dicho de otra manera, el escalamiento en tiempo de una señal se produce cambiando la variable “t” por “a.t” en la ecuación de la señal, donde “a” es una constante positiva. En el caso de que a > 1, se produce una compresión de la señal. En caso de que 0 < a < 1, se produce una expansión de la señal.
Consideremos nuevamente la función:
f(t) = A.sen(wt + j) (Ecuación 5 )
Si sustituimos la variable “t” por “a.t” y damos a “a” valores mayores que 1 y valores menores que 1, podemos obtener escalamiento en tiempo, es decir:
f(t) = A.sen(w.(at) + j) (Ecuación 6 )
En la figura #8 se muestra una señal senoidal, la cual ha sido escalada en tiempo. En la parte a) la señal se muestra sin escalamiento. En b) la señal a sido escalada en tiempo para valores de a > 1 ( se disminuye la duración de la señal) mientras que para c) se escala en tiempo la señal para valores de 0 < a < 1 ( se aumenta la duración de la señal)
Físicamente hablando, podemos decir que al escalar en tiempo la señal senoidal anterior, estamos variando la frecuencia de la señal, es decir, el número de ciclos por unidad de tiempo de la misma. De esta manera, se puede entender porqué se produce la compresión ( si a > 1 ) y la expansión ( si 0 < a < 1 ) de la señal.
Figura #8
Escalamiento en tiempo de una señal.
3.1.1.e.- Desplazamiento o traslación en el tiempo de una función.
El inicio y fin de una función puede ser trasladado en el eje de los tiempos. Es así como se produce el desplazamiento de la función, lo cual, no es más que un corrimiento de la función en el eje horizontal.
Desde el punto de vista matemático, esto no es más que sustituir la variable t en la ecuación de la función por (a + t ), donde “a” es una constante que puede tomar valores positivos o negativos. Si los valores que toma la constante “a” son positivos, el desplazamiento de la función es hacia la izquierda. Si “a” toma valores negativos el desplazamiento es hacia la derecha.
Consideremos la función definida como:
(Ecuación 7 )El desplazamiento de la función f(t) se hace sustituyendo en las ecuaciones que definen la función a la variable “t” por “ t + a ”, donde “a” representa el valor del desplazamiento que se desea dar a la función y su signo el sentido: derecha o izquierda.
(Ecuación 8 )Si sustituimos la variable “t” por ( t + a ) con a = - 2 en la ecuación anterior nos queda:
(Ecuación 9 )Resolviendo tenemos:
(Ecuación ( 10 )Este resultado se muestra en la figura # 9-b.
Si se considera a = 2 se obtiene el resultado de la figura # 9-c.
Figura #9
Desplazamiento en tiempo de una señal.
3.1.1.f.- Transposición de una función.
La transposición se obtiene cuando se sustituye en la ecuación de la función la variable por la misma variable multiplicada por -1. Es decir, si la función en cuestión es f(t), para hallar la transpuesta de ella basta con sustituir la variable “t” por “- t”. En este caso la función se rota 180 grados sobre el eje vertical.
Considerando nuevamente la función:
(Ecuación 11 )podemos hallar su transpuesta como la función g(t) sustituyendo la variable “t” por “-t” obteniendo:
(Ecuación 12 )Resolviendo obtenemos:
(Ecuación 13 )En la figura # 10 se muestran las gráficas para ambos casos.
Obsérvese que la función ha sido rotada sobre el eje vertical, por lo cual se mantiene la simetría respecto al eje “y”.
Figura #10
Transposición de una función.
3.2.- Señales determínisticas discretas.
Las señales determínisticas discretas son funciones que asumen o toman valores solo para algunos instantes discretos. Estos instantes discretos pueden estar equiespaciados, es decir pueden producirse cada “nt”, donde n toma valores enteros y puede ser finito o infinito.
En forma analítica la función discreta será función de “n”.
Consideremos la función discreta x(n) dada por la ecuación:
(Ecuación 14 )En la figura # 11 se muestra la gráfica de esta función.
Figura #11
Representación gráfica de la función discreta x1(n).
Se puede mencionar que las funciones discretas tienen las siguientes características:
a) la variable sólo toma valores discretos.
b) los valores que asume “n” pueden ser finitos o infinitos.
c) la gráfica de la función discreta está constituida por un conjunto de puntos con amplitud dada a los valores de “n” equidistantes, para valores de “n” finito o infinito.
Al igual que las funciones continuas en el tiempo, las funciones discretas también soportan las operaciones de: suma y resta, multiplicación, escalamiento en amplitud, desplazamiento y transposición. El escalamiento en tiempo continuo no se da ya que la función no depende del tiempo continuo.
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