Señales periodicas

Una función periódica se puede definir como una función para la cual

f ( t ) = f ( t + T ) (Ecuación 1)

para todo valor de t.
La constante mínima T que satisface la ecuación #1 se llama período de la función.
En forma general la ecuación #1 se puede escribir como

f ( t ) = f ( t + n T ) (Ecuación 2)

donde n = 0, ±1, ±2, ±3...
En la figura #1 se muestra una función periódica de período “T”.

Ejemplo de señales periódicas lo constituyen las señales sinusoidales.
Considere que una señal esta dada por:


Si r(t) es periódica con período T, es posible encontrar dos enteros m y n tal que:

  (Ecuación 3)

   (Ecuación 4)

El cociente entre las ecuaciones # 3 y # 4 es:

Figura #1

Representación de una función periódica

Entonces para que la función r(t) sea periódica de período T, la relación
w1 / w2 = m / n debe ser un número racional.

Ejemplo: Encontrar el período de la función f(t) = cos(t/3) + cos(t/4).

Solución.
Si f(t) es periódica con período T entonces se debe cumplir que:



Pero dado la periodicidad del coseno se tiene que



si m es entero.
Si se comparan miembro a miembro con la ecuación de f(t), tenemos



con m y n enteros.
Despejando T en ambas ecuaciones e igualando se tiene:


o


entonces



Donde se concluye que m = 4 y n = 3.
De los valores de m y n se puede calcular T obteniéndose T = 24.π, el cual es el mínimo valor de T para la función periódica.

Funciones pares e impares.

La simetría que una forma de onda tiene respecto al eje “y” o al origen, se puede determinar en forma analítica cambiando en la ecuación de la forma de onda la variable “ t ” por “ - t ” y en dependencia del resultado podemos determinar si la función es simétrica respecto al eje "y" o si no lo es.
A continuación se dan los procedimientos necesarios.

Funciones pares.

Se dice que una función es par si satisface la condición de que
         (Ecuación 5)   
 De la ecuación # 5 se concluye que una función par es simétrica respecto al  eje vertical en el origen. La figura # 2 muestra la gráfica de una función par. Observe que la misma es simétrica respecto a el eje vertical en el origen.

Funciones impares

Se dice que una función es impar si satisface la condición de que.
   (Ecuación 6)
De la ecuación # 6 se concluye que una función impar es antisimétrica respecto al eje vertical en el origen.

      

Figura #2

Ejemplo de una función par

La figura # 3 muestra la gráfica de una función impar. Observe que la misma es simétrica respecto al origen.

Propiedades de las funciones pares e impar

Las funciones pares e impares cumplen con varias propiedades que serán descritas a continuación. 

 

Figura #3

Ejemplo de una función impar. 

a) El producto de una función par por otra función par, da como resultado una función par. 

Demostración. 

Sean f₁ ( t ) y f₂  ( t ) dos funciones pares y f ₁  ( t )* f ₂ ( t ) = f( t ), entoncesf ( -t ) = f₁ ( - t ) * f ₂ ( - t ) = f ₁  ( t ) *  f ₂  ( t ) = f( t )

b) El producto de una función impar por otra función impar, da como resultado una función par.

Demostración. 

Sean f₁ ( t ) y f₂ ( t ) dos funciones impares y f ₁  ( -t ) * f ₂ ( -t ) = f(-t), entonces 

f ( -t ) = f₁ ( - t ) * f ₂ ( - t ) = - f ₁  ( t ) * [ -  f ₂  ( t )] = f( t )

c) El producto de una función par por otra función impar, da como resultado una función impar.

Demostración. 

Sean f₁  ( t ) es par y f₂  ( t ) es impar y f ₁   ( t ) *  f ₂  ( t ) = f ( t ), entonces 

f ( -t ) = f₁ ( - t ) * f ₂ ( - t ) = f ₁  ( t ) * [ -  f ₂  ( t )]                                

= - f₁ ( t ) * f ₂ ( t ) = - f ( t )

Señales determínisticas singulares.

3.3.- Señales determínisticas singulares.

Los miembros de estas clase tienen formas matemáticas simples, pero no son finitas o no tienen derivadas finitas de todo orden en todos los puntos. Por esta razón se denominan funciones singulares.

Las señales determínisticas singulares son formas de ondas que por su composición son útiles en el análisis de sistemas físicos, como por ejemplo sistemas de control, amplificadores, filtros, etc.

Estas funciones son idealizaciones matemáticas y, en rigor, no aparecen en sistemas físicos. Resultan útiles en el análisis de sistemas debido a que son buenas aproximaciones a ciertas condiciones restrictivas de los sistemas físicos.

3.3.1.- Función escalón unitario.

La función escalón unitario está definida como:

                            (Ecuación  15 )

Según la definición anterior, se puede entender que la función x(t) será igual a uno cuando el argumento de la función p(t) sea mayor o igual que cero (sea positivo), y valdrá cero cuando el argumento sea menor que cero (sea negativo). Por esta razón se le conoce a esta función como escalón unitario, dado que su amplitud cambia abruptamente de cero a la unidad.

Como ejemplo de una función escalón unitario consideremos la función x(t) = u(t² - 4t + 1).

Según la definición, se debe analizar para qué valores de “t” la función p(t) ≥ 0. Utilizando la ecuación de segundo grado se pueden encontrar los valores de “t” que anulan a p(t). Según esto, se tiene que son las raíces de la ecuación (t² - 4t + 1).

De acuerdo a estos resultados se tiene lo siguiente:

                   (Ecuación  16 )

Con los resultados anteriores y de acuerdo con la definición, la función x(t) es igual a “1”  para todos los valores de “t” para los cuales p(t) ≥ 0, lo cual se cumple en las ramas ( I ) y (III) de los resultados obtenidos en la ecuación (16). Para el restante intervalo la función x(t) vale cero.

La gráfica de x(t) se muestra en la figura #12.

Figura #12

Representación gráfica de la función x(t).

Si tuviéramos el caso en el cual p(t) = t, entonces la función x(t) se reduciría a la siguiente expresión:

                                       (Ecuación  17 )

Figura #13

Representación gráfica de la función x(t) = u(t).

La gráfica de la función en este caso es la que se muestra en la figura # 13.

3.3.1.2.- Operaciones sobre la función escalón unitario.

Al igual que sobre las funciones continuas se pueden realizar ciertas operaciones matemáticas, sobre las funciones determínisticas singulares también se pueden realizar estas operaciones matemáticas.

En el caso de la función escalón podemos efectuar desplazamiento,  transposición y escalamiento en amplitud.

Estas operaciones se consideran a continuación.

3.3.1.2.a.- Operación de escalamiento en amplitud de la función escalón unitario.

El escalamiento en amplitud de la función escalón unitario se produce multiplicando su amplitud unitaria por una constante k, la cual tendrá como efecto aumentar k veces la magnitud de la discontinuidad de la función.

Matemáticamente hablando esto se puede expresar de la siguiente manera:

                                                 (Ecuación  18 )

resultando de la definición la siguiente ecuación:

                                               (Ecuación  19 )

Gráficamente se tendría el escalón de la figura #14.

3.3.1.2.b.- Operación de desplazamiento de la función escalón unitario.

El desplazamiento de la función escalón unitario se obtiene sustituyendo “ t ” por “ t + a ”.

Así,  si en la ecuación de x(t) sustituimos “t” por “ t + a ” tenemos:

                                                    (Ecuación  20 )

y en la ecuación general:

                                 (Ecuación  21 )

Figura #14

Representación gráfica de la función x_k(t) = Ku(t).

La gráfica de la función escalón unitario desplazada se muestra en la figura # 15. Si el valor de a > 0, la gráfica se desplaza hacia la izquierda. Si a < 0 la gráfica se desplaza hacia la derecha.

Figura #15

Representación gráfica de la función x(t ± a) = u(t ± a).

3.3.1.2.c.- Operación de transposición de la función escalón unitario.

La transposición de la función escalón unitario se efectúa realizando el cambio de la variable “ t ” por la variable  “- t ”.

Según lo anterior aplicado a la definición de escalón unitario tenemos:

                              (Ecuación  22 )

Realizando las operaciones necesarias se llega finalmente a que la expresión para la función escalón unitario transpuesta es:

                     (Ecuación  23 )

La gráfica de la función escalón unitario transpuesta se muestra en la figura # 16.

Figura #16

Representación gráfica de la función x_T( t ) =  x(- t) = u(- t).

3.3.2.- Función pulso rectangular.

A partir de la definición de la función escalón, es posible obtener las ecuaciones de otras formas de ondas típicas de gran utilidad también en el análisis de sistemas.

La función pulso rectangular se puede  concebir como aquella función que asume dos valores perfectamente definidos. Inicialmente el pulso tiene una amplitud igual a cero para luego en cierto tiempo t1 cambiar abruptamente a un valor máximo “A” manteniéndose en este hasta el tiempo t2. De esta manera la duración del pulso está dado como t = t2 - t1.

Lo que anteriormente hemos dicho en palabras lo podemos representar matemáticamente hablando, de la siguiente manera:

                                   (Ecuación  24 )

donde a ≥ 0 , b ≥ 0 y a < b .

La duración del pulso esta dada como:

T = b - a                                                        (Ecuación  25 )

y la amplitud es “A”.

Analizando la ecuación ( 24 ) podemos observar que puede ser descompuesta como la diferencia de dos funciones escalones f1(t) y f2(t) de amplitud “A” desplazados en t = a   y   t = b.

Bajo esta consideración, sean las ecuaciones:

                                                     (Ecuación  26 )

                                                     (Ecuación  27 )

entonces podemos definir la ecuación ( 28) como:

                                                  (Ecuación  28 )

                                    (Ecuación  29 )

La gráfica de la ecuación (29) se muestra en la figura #17 para A = 1.

Si en la ecuación (29) se hace A = 1 se tiene la función pulso rectangular unitario.

3.3.3.- Función rampa.

Así como para la función pulso rectangular se emplea la función escalón para definir la función, también se puede usar este mismo principio para definir otra función muy útil: la función rampa.

La función rampa, denotada como R_k(t), está definida como:

                                            (Ecuación  29 )

Podemos observar que esta función es una recta que comienza en el origen y tiene una pendiente k y que además es cero para todos los valores de tiempo negativos. Por esta razón la función rampa puede ser expresada en función de la función escalón unitario de la siguiente manera:

                                                        (Ecuación  30 )

Si el valor de k=1, se obtiene la función rampa unidad.

La figura # 18 muestra la gráfica de la función rampa R_k(t).

3.3.3.1.- Operación de desplazamiento de la función rampa.

Si en la función de la ecuación (29) se sustituye “t” por “t - a” obtenemos:

                                               (Ecuación  31 )

La ecuacion 31 indica que la gráfica de la figura #18 experimenta un desplazamiento hacia la derecha al cambiar “t”   por  “t - a”. Situación similar se presenta cuando se sustituye “t” por  “t + a”, solo que en esta ocasión la gráfica se desplaza hacia la izquierda.

Figura #17

Representación gráfica de la función pulso rectangular.

Figura #18

Representación gráfica de la función rampa.

La gráfica # 19 muestra la gráfica desplazada de la función rampa.

Figura #19

Representación gráfica de la función rampa desplazada.

3.3.3.2.- Operación de transposición de la función rampa.

El proceso de transposición de la función  rampa  se produce al cambiar “t” por “- t ” en la ecuación (30) o la ecuación (31). Si se considera la ecuación de la rampa desplazada se obtiene:

                             (Ecuación ( 32)

En la gráfica # 20 se muestra la función rampa  transpuesta.

Figura #20

Representación gráfica de la función rampa transpuesta.

3.3.4.- Función impulso unitario.

Esta función tiene la propiedad mostrada por la siguiente integral:

                                   (Ecuación (33)

para cualquier f(t) continua en t = t₀ , con t₀ finito.

La función, según la ecuación (33), selecciona o separa el valor particular de f(t) para t = t₀ durante el proceso de integración, por esta razón, se designa a esta propiedad como propiedad de muestreo de la función impulso.

Veamos dos ejemplos que facilitan la comprensión de este hecho.

i) Evaluar la integral definida:

Solución: aplicando la ecuación (33) y tomando t₀ = p, se tiene:

                       

Observe que se ha tomado:    f(t) = e^{cos t}   y  se evalúo en t₀ = p .

ii) Evaluar:

        

Solución: Analizando la integral observamos que x₀ = 0, no aparece explícitamente, pero podemos considerar lo siguiente:

        

Como x₀ = 0 no está entre el intervalo 1 < x <∞, el resultado de la integral es cero.

Esto es:

        

Ejercicio propuesto:

Evaluar la integral:               

La ecuación (33) muestra que la función impulso no es una función ordinaria. Sin embargo, d(t) se puede tratar como una función que obedece formalmente las reglas de integración, si basamos las conclusiones en la ecuación (33) y no en las propiedades puntuales de d(t).

La función impulso puede ser definida como una función pulso, la cual tiene una amplitud infinitamente grande y un ancho infinitamente pequeño y cuya área es finita e igual a la unidad.

La función impulso también es conocida como función delta o función de Dirac.

Una interpretación gráfica de la función impulso se puede obtener por medio de la figura # 21.

Figura #21

Interpretación gráfica de la función impulso.

Observando la figura #21 se puede calcular el área del pulso con base igual a “e“ y altura “h” igual a k/e obteniéndose como resultado el área igual a k, la cual se mantiene constante para los tres rectángulos.

Se observa que si la base  “e“ disminuye la altura “h” aumenta mientras el área se mantiene constante.

En el limite cuando “e“ tiende a cero se tiene:

                       (Ecuación  34)

                            (Ecuación  35)

Con este procedimiento se ha podido demostrar como obtener una función, que tiene una altura infinita, un ancho infinitesimal y un área finita.

La figura #22 muestra la representación gráfica de la función impulso unitario.

Se puede observar que la función impulso existe en aquellos instantes en los cuales se anula su argumento. Con esta consideración, si el argumento de la función delta es una función p(t), entonces la función delta existirá en todos aquellos valores en los cuales se anule p(t).

Figura #22

Representación gráfica de la función impulso.

La función impulso es factible de ser desplazada en el eje horizontal, así como también escalada en magnitud, el procedimiento es similar al procedimiento ya descrito para las funciones anteriores. La figura # 23 muestra la función impulso desplazada y escalada en magnitud.

3.3.4.1 Propiedades de la función impulso.

a) Propiedad del muestreo.

La propiedad del muestreo está expresada de la siguiente manera:

                                       (Ecuación  36)

Utilizando la gráfica de la figura # 24 podemos comprender mejor el significado de la ecuación (36).

Sea la función f(t) y considere el valor que se obtiene de la función  para el  valor de  t = T ( ver gráfica “a” ). La gráfica b) muestra un impulso desplazado hasta “ T ” . El impulso está definido como d(t-T) (desplazado a t = T) y el producto de una función cualquiera continua en t = T y multiplicada por d(t-T) se reduce necesariamente a un impulso en t = T, con una amplitud igual al valor que tiene f(t) en t = T o lo que es lo mismo f(T).

Figura #23

Representación gráfica de la función impulso

 escalada en amplitud y desplazada.

Se concluye que el producto de una función continua en “T” multiplicada por una función  impulso en “ t = T ” es igual a la función f(t) evaluada en el punto “T”, es decir f(T).

De acuerdo a lo anterior podemos realizar la siguiente consideración:

f(t).d(t-T) = f(T).d(t-T)                                              (Ecuación 37)

Basados en esto, podemos retomar la ecuación (36) y realizar algunas manipulaciones matemáticas, para finalmente obtener:

              (Ecuación 38)

ya que:

                                          (Ecuación 39)

b) Área de la función impulso.

 Si f(t) = 1, entonces de la ecuación (33) tenemos:

,        a < t₀ < b                                (Ecuación 40)

De la ecuación (40) se concluye que la función impulso tiene un área unitaria, tal como se había mencionado anteriormente. En consecuencia A.d(t) tiene un área igual a “A” unidades.

Figura #24

Representación gráfica de la ecuación (39).

c) Amplitud de la función impulso.

Según la ecuación (33) se tiene que:

es decir los valores de f(t) para t ≠ t₀ se hacen cero en el proceso de integración.

La amplitud en el punto t ≠ t₀ queda indefinida y se denota por: ∞.

d) Representación gráfica de la función impulso.

Es difícil según la definición y las propiedades dadas, graficar la función impulso.

Se conviene representar la función impulso como una flecha ubicada en t = t₀, apuntando hacia arriba.

El área del impulso se designa con una cantidad entre paréntesis junto a la flecha. También se puede hacer por medio de una escala en el eje vertical.

Una flecha hacia abajo indica un área negativa.

e) Escala de tiempo de la función impulso.

Al argumento de la función impulso se le puede aplicar una escala. Este procedimiento es como sigue:

                                                     (Ecuación 41)

Comprobemos el resultado anterior.

Figura #25

Representación gráfica de la función impulso.

Para a > 0 tenemos:

Consideremos el cambio de variable x = a.t en la ecuación (33).

Sea x = a.t  entonces  t =  x/a, sustituyendo en la integral tenemos:

   (Ecuación 42)

donde se ha considerado: f(t) = f(x/a)  y  t₀ = a.t₀ según la ecuación (33).

Para a < 0 tenemos:

                                     

                                                          
                                           

Sea x = - a.t  entonces  t = - x/a, sustituyendo en la integral tenemos:

Finalmente tenemos:

                                      (Ecuación 43)

donde se ha considerado: f(t) = f(x/t)  y  t₀ = a.t₀  según la ecuación (33).

Combinando los resultados de las ecuaciones (42)  y  (43)  se puede escribir:

                                      (Ecuación 44)

En forma gráfica, es necesaria la introducción de este factor de escala para mantener el área unitaria en la definición de la función impulso.

Veamos a continuación un ejemplo de aplicación.

Evalúe la integral definida     .

Solución:

Analizando la integral anterior, podemos resolverla aplicando primero factor de escala y luego propiedad del muestreo.

Según factor de escala tenemos:

.

Si ahora aplicamos propiedad del muestreo tenemos finalmente:

f) La integral de la función impulso unitario.

Si en la ecuación (33) hacemos a = - ∞,  b = t  y f(t) = 1 tenemos:

                    (Ecuación 45)

Ahora si recordamos la definición de función escalón tenemos:

                                         (Ecuación 46)

Comparando las ecuaciones (45) y (46) podemos establecer que:

                                       (Ecuación 47)

Se concluye que la integral de la función impulso unitario es la función escalón unitario.

g) Derivada de la función escalón unitario.

Si se derivan ambos miembros de la ecuación (47) se tiene:

      

                                             (Ecuación 48)

Se concluye que la derivada de la función escalón unitario en t = t₀ es la función impulso unitario que ocurre en t = t₀

Veamos un ejemplo de aplicación.

Calcular y graficar la derivada del pulso rectangular de la figura # 26-a

Figura #26

Pulso rectangular y su derivada

Solución: La ecuación de la función pulso rectangular es:

f(t) = A.u ( t )  -  A.u ( t - t₀ )

aplicando propiedad de derivada al escalón tenemos:

El resultado es un impulso en el origen de área A apuntando hacia arriba mas otro impulso de área - A apuntando hacia abajo y ubicado en t = t₀. Esto se aprecia en la figura # 26-b

3.3.5.- Función signo.

La función signo se define de la siguiente manera:

                                              (Ecuación 44)

De la ecuación anterior se puede concluir que la función sgnt (t) está constituida por dos niveles: - 1 desde - ∞ a cero y   +1 desde cero a   + ∞, observándose el salto abrupto en cero.

La figura # 25 muestra la gráfica de la función signo.

Figura #25

Representación gráfica función sgnt.

También se puede observar que la función signo se puede obtener a partir de la función escalón unitario como:

sgnt= 2.u(t) - 1                                               (Ecuación 45)

En la figura # 26 se muestra gráficamente como se puede obtener la función signo a partir de una función constante y una función escalón.

La amplitud de la función escalón es 2, su ecuación f1(t) = 2u(t). La otra función es una función constante dada por f2(t) = -1.

Si se define:

f(t) = f1(t) + f2(t)

entonces tenemos:

f(t) = 2 u(t) - 1

la cual coincide con la ecuación (45).


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