f ( t ) = f ( t + T ) (Ecuación 1)
para todo valor de t.
La constante mínima T que satisface la ecuación #1 se llama período de la función.
En forma general la ecuación #1 se puede escribir como
f ( t ) = f ( t + n T ) (Ecuación 2)
donde n = 0, ±1, ±2, ±3...
En la figura #1 se muestra una función periódica de período “T”.
Ejemplo de señales periódicas lo constituyen las señales sinusoidales.
Considere que una señal esta dada por:
Si r(t) es periódica con período T, es posible encontrar dos enteros m y n tal que:
(Ecuación 3)
(Ecuación 4)El cociente entre las ecuaciones # 3 y # 4 es:
Figura #1
Representación de una función periódica
Entonces para que la función r(t) sea periódica de período T, la relación
w1 / w2 = m / n debe ser un número racional.
Ejemplo: Encontrar el período de la función f(t) = cos(t/3) + cos(t/4).
Solución.
Si f(t) es periódica con período T entonces se debe cumplir que:
Pero dado la periodicidad del coseno se tiene que
si m es entero.
Si se comparan miembro a miembro con la ecuación de f(t), tenemos
con m y n enteros.
Despejando T en ambas ecuaciones e igualando se tiene:
o
entonces
Donde se concluye que m = 4 y n = 3.
De los valores de m y n se puede calcular T obteniéndose T = 24.π, el cual es el mínimo valor de T para la función periódica.
Funciones pares e impares.
La simetría que una forma de onda tiene respecto al eje “y” o al origen, se puede determinar en forma analítica cambiando en la ecuación de la forma de onda la variable “ t ” por “ - t ” y en dependencia del resultado podemos determinar si la función es simétrica respecto al eje "y" o si no lo es.
A continuación se dan los procedimientos necesarios.
Funciones pares.
Se dice que una función es par si satisface la condición de que
(Ecuación 5) De la ecuación # 5 se concluye que una función par es simétrica respecto al eje vertical en el origen. La figura # 2 muestra la gráfica de una función par. Observe que la misma es simétrica respecto a el eje vertical en el origen.
Funciones impares
Se dice que una función es impar si satisface la condición de que.
(Ecuación 6)De la ecuación # 6 se concluye que una función impar es antisimétrica respecto al eje vertical en el origen.
Figura #2
Ejemplo de una función par
La figura # 3 muestra la gráfica de una función impar. Observe que la misma es simétrica respecto al origen.
Propiedades de las funciones pares e impar
Las funciones pares e impares cumplen con varias propiedades que serán descritas a continuación.
Figura #3
Ejemplo de una función impar.
Demostración.
Sean f1 ( t ) y f2 ( t ) dos funciones pares y f 1 ( t )* f 2 ( t ) = f( t ), entoncesf ( -t ) = f1 ( - t ) * f 2 ( - t ) = f 1 ( t ) * f 2 ( t ) = f( t )
b) El producto de una función impar por otra función impar, da como resultado una función par.
Demostración.
Sean f1 ( t ) y f2 ( t ) dos funciones impares y f 1 ( -t ) * f 2 ( -t ) = f(-t), entonces
f ( -t ) = f1 ( - t ) * f 2 ( - t ) = - f 1 ( t ) * [ - f 2 ( t )] = f( t )
c) El producto de una función par por otra función impar, da como resultado una función impar.
Demostración.
Sean f1 ( t ) es par y f2 ( t ) es impar y f 1 ( t ) * f 2 ( t ) = f ( t ), entonces
f ( -t ) = f1 ( - t ) * f 2 ( - t ) = f 1 ( t ) * [ - f 2 ( t )] = - f1 ( t ) * f 2 ( t ) = - f ( t )
